Proposition 33 of Book XI

증명

두 평행육면체 $A E G X - V H B W$ , $C F N T - S R D U$ 은 닮음이고, 변 $A E$ 가 변 $C F$ 에 대응한다.

그러면 (입체도형 $A E G X - V H B W$ 부피) $:$ (입체도형 $C F N T - S R D U$ 부피) $=$ ${\overset{―}{A E}}^{3} : {\overset{―}{C F}}^{3}$ 임을 보이자.

선분들 $A E$ , $G E$ , $H E$ 를 길게 늘여서 $\overset{―}{E K} = \overset{―}{C F}$ , $\overset{―}{E L} = \overset{―}{F N}$ , $\overset{―}{E M} = \overset{―}{F R}$ 이 되도록 선분 $E K$ , $E L$ , $E M$ 을 그리자. [I권 명제 3] 그리고 평행사변형 $K E L b$ 과 입체도형 $K E L b - c M P a$ 를 작도하여라. [I권 명제 31]

$\overset{―}{D E} = \overset{―}{C F}$ , $\overset{―}{E L} = \overset{―}{F N}$ 이다. 또한 두 평행육면체 $A E G X - V H B W$ , $C F N T - S R D U$ 은 닮음이어서 $∠ A E G = ∠ C F N$ 이다. 따라서 $∠ K E L = ∠ C F N$ 이다. 그러므로 두 평행사변형 $K E L b$ , $C F N T$ 는 닮음이다. 같은 이유로 두 평행사변형 $K E M c$ , $C F R S$ 는 닮음이고 두 평행사변형 $E M P L$ , $D N F R$ 도 닮음이다.

그러므로 두 평행육면체 $K E L b - c M P a$ , $C F N T - S R D U$ 은 닮음이다. 그런데 평행육면체 $K E L b - c M P a$ 의 세 평행사변형 $K E L b$ , $K E M c$ , $E M P L$ 은 각각 평행육면체의 세 평행사변형 $C F N T$ , $C F R S$ , $D N F R$ 과 닮음이다. [XI권 명제 24] 그러므로 두 입체도형 $K E L b - c M P a$ , $C F N T - S R D U$ 는 닮음이다. [XI권 정의 10]

평행사변형 $G E K Y$ 를 작도하고, 두 입체도형 $E K Y G - H Q O B$ , $K E L b - c M P a$ 은 각각 평행사변형 $G E K Y$ , 평행사변형 $K E L b$ 를 밑변으로 하고 평행육면체 $A E G X - V H B W$ 높이 와 같은 입체도형을 작도하여라. [I권 명제 31]

그러면 두 입체도형 $A E G X - V H B W$ , $C F N T - S R D U$ 는 닮음이기 때문에, $\overset{―}{A E} : \overset{―}{C F} = \overset{―}{E G} : \overset{―}{F N} = \overset{―}{E H} : \overset{―}{F R}$ 이다. 그리고 $\overset{―}{C F} = \overset{―}{E K}$ , $\overset{―}{F N} = \overset{―}{E L}$ , $\overset{―}{F R} = \overset{―}{E M}$ 이므로 $\overset{―}{A E} : \overset{―}{E K} = \overset{―}{G E} : \overset{―}{E L} = \overset{―}{H E} : \overset{―}{E M}$ 이다. [XI권 정의 9]

그런데 $\overset{―}{A E} : \overset{―}{E K} =$ (평행사변형 $A E G X$ 넓이) $:$ (평행사변형 $G E K Y$ 넓이)이므로 $\overset{―}{r m G E} : \overset{―}{E L} = \overset{―}{G K} : \overset{―}{K L}$ 이고 $\overset{―}{H E} : \overset{―}{E M} = \overset{―}{Q E} : \overset{―}{K M}$ 이다. 그러므로 (평행사변형 $A E G X$ 넓이) $:$ (평행사변형 $G E K Y$ 넓이) $=$ (평행사변형 $G E K Y$ 넓이) $:$ (평행사변형 $K E M c$ 넓이)이다. [VI권 명제 1]

(평행사변형 $A E G X$ 넓이) $:$ (평행사변형 $G E K Y$ 넓이) $=$ (입체도형 $A E G X - V H B W$ 부피) $:$ (입체도형 $E K Y G - H Q O B$ 부피)이고, (평행사변형 $G E K Y$ 넓이) $:$ (평행사변형 $K E L b$ 넓이) $=$ (입체도형 $O B H Q - Y G E K$ 부피) $:$ (입체도형 $O B Z d - Y G L b$ 부피)이며, (평행사변형 $Q H E K$ 넓이) $:$ (평행사변형 $K E M c$ 넓이) $=$ (입체도형 $Q H Z G - K E L b$ 부피) $:$ (입체도형 $K E L b - c M P a$ 부피) 이므로 (입체도형 $A E G X - V H B W$ 부피) $:$ (입체도형 $E K Y G - H Q O B$ 부피) $=$ (입체도형 $E K Y G - H Q O B$ 부피) $:$ (입체도형 $Q H Z G - K E L b$ 부피) $=$ (입체도형 $Q H Z G - K E L b$ 부피) $:$ (입체도형 $K E L b - c M P a$ 부피)이다. [XI권 명제 32]

그런데 $a : b = b : c = c : d$ 이면 이다. [V권 정의 10] 그러므로 (입체도형 $A E G X - V H B W$ 부피) $:$ (입체도형 (\rm KELb-cMPa\) 부피) $=$ (입체도형 (\rm AEGX-VHBW\) 부피)³ : (입체도형 (\rm EKYG-HQOB\) 부피)³ 이다.

그런데 (평행육면체 $A E G X - V H B W$ 부피) $:$ (평행육면체 $E K Y G - H Q O B$ 부피) $=$ (평행사변형 $A E G X$ 넓이) $:$ (평행사변형 $G E K Y$ 넓이) $= \overset{―}{A E} : \overset{―}{E K}$ 이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (평행육면체 $A E G X - V H B W$ 부피) $:$ (입체도형 $K E L b - c M P a$ 부피) $= {\overset{―}{A E}}^{3} : {\overset{―}{E K}}^{3}$ 이다. 그런데 (입체도형 $K E L b - c M P a$ 부피) $=$ (입체도형 $C F N T - S R D U$ 부피)이고, $\overset{―}{E K} = \overset{―}{C F}$ 이다. 따라서 (입체도형 $K E L b - c M P a$ 부피) $=$ (입체도형 $C F N T - S R D U$ 부피) $= {\overset{―}{A E}}^{3} : {\overset{―}{C F}}^{3}$ 이다.

그러므로 닮음인 두 평행육면체는 부피의 비율은 대응하는 변들의 길이의 세 제곱의 비율이다.

Q.E.D.

명제 33

증명

따름명제

부연설명