애플릿

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증명

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두 선분 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 같은 단위로 측정할 수 없고, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2$, ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$($=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$)는 무리수임을 보여야 한다.

${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2$, ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$는 같은 단위로 측정할 있으므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 같은 단위로 측정 할 수 없다. 그리고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}:{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$이므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]

그런데 $2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$은 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$과 같은 단위로 측정할 수 있으며 [X권 명제 6], ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$은 ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$과 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 두 선분 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 같은 단위로 측정할 수 없고, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2$, ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수기 때문이다. [X권 명제 15] 그러므로 $2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]

비례식의 덧셈 성질에 의해서, $2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}+{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$ 즉, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2$ [II권 명제 4]은 ${(\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}})}^2$과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]

그런데 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$은 유리수이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2$은 무리수이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$도 역시 무리수이다. [X권 정의 4] 이 길이를 이항리라고 부르자.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 현대적인 용어로 바꾸면 다음과 같다.

$a^2$, $b^2$은 유리수이지만 $\frac{a}{b}$는 무리수이면, ${(a+b)}^2$은 유리수이다. 다시 말해서, ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$ 이고 $ab=\frac{a}{b}\cdot b^2$이다.

여기서 $c=a^2$, $d=b^2$이라고 하면 이 명제는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$c$, $d$는 유리수이고 $\sqrt{\frac{c}{d}}$는 무리수이면 ${(\sqrt{c}+\sqrt{d})}^2$도 역시 무리수이다. 이때, $\sqrt{c}+\sqrt{d}$을 이항(binomial)이라고 한다.

이 명제는 다음 명제에서 이용되며 이후 [X권] 내에서 매우 자주 사용된다.