Proposition 14 of Book X

X 권

명제

보조명제

길이가 다른 두 선분에 대하여, 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이와 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 차이만큼 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 만들 수 있다.

$\overset{―}{A B} > c$ 인 직선 $A B$ , 수 $c$ 에 대하여, 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이가 ${\overset{―}{A B}}^{2} - c^{2}$ 과 같은 어떤 선분이 존재한다.

애플릿

증명

$\overset{―}{A B} > c$ 인 직선 $A B$ , 수 $c$ 에 대하여, 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이가 ${\overset{―}{A B}}^{2} - c^{2}$ 과 같은 어떤 선분이 존재함을 보여야 한다.

선분 $A B$ 에 반원 $A D B$ 를 작도하자. 이 반원에 $\overset{―}{A D} = c$ 인 선분 $A D$ 를 작도하자. [VI권 명제 1] 선분 DB를 그려라.

그러면 $∠ A D B = 90^{\circ}$ 임은 자명하다. [III권 명제 31]

따라서 ${\overset{―}{A B}}^{2} = {\overset{―}{A D}}^{2} + {\overset{―}{B D}}^{2} = {\overset{―}{A D}}^{2} + c^{2}$ 이다. [I권 명제 47]

이와 비슷한 방법으로 두 선분이 주어졌을 때, 그 두 선분으로 만든 정사각형들을 더한 것과 넓이가 같은 어떤 선분으로 만든 정사각형의 넓이가 같은 그 어떤 선분을 그릴 수 있다.

어떤 선분의 제곱이 두 선분 $A D$ , $D B$ 에 대하여, ${\overset{―}{A D}}^{2} + {\overset{―}{D B}}^{2}$ 와 같은 어떤 선분을 구하여 보자.

두 선분 $A D$ , $D B$ 를 한 점 $D$ 가 직각이 되게 작도하여라. 그리고 선분 $A B$ 를 그리자.

그러면 두 선분 ${\overset{―}{A D}}^{2} + {\overset{―}{D B}}^{2} = {\overset{―}{A B}}^{2}$ 인 것은 자명하자. [I권 명제 47]

그러므로 길이가 다른 두 선분에 대하여, 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이와 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 차이만큼 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 만들 수 있다.

Q.E.D.

명제 14

네 수가 서로 비례 한다고 하자. 그리고 첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.

첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.

네 수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 $a : b = c : d$ 를 만족하고, 두 수 $e$ , $f$ 는 $a^{2} = b^{2} + e^{2}$ 과 $c^{2} = d^{2} + f^{2}$ 을 만족한다고 하자. 그러면 두 수 $a$ , $e$ 를 같은 단위로 측정할 수 있으면 두 수 $c$ , $f$ 도 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 수 $a$ , $e$ 를 같은 단위로 측정할 수 없으면 두 수 $c$ , $f$ 도 같은 단위로 측정할 수 없다.

애플릿

증명

$a : b = c : d$ 이므로 $a^{2} : b^{2} = c^{2} : d^{2}$ 이다. [VI권 명제 22]

그런데 $e^{2} + b^{2} = a^{2}$ 이고 $d^{2} + f^{2} = c^{2}$ 이다. 그러므로 $(e^{2} + b^{2}) : b^{2} = (d^{2} + f^{2}) : d^{2}$ 이다.

그러므로 비례식 빼기에 의해서 $e^{2} : b^{2} = f^{2} : d^{2}$ 이다. [V권 명제 17]

그러므로 $e : b = f : d$ 이다. [VI권 명제 22] 그러므로 $b : e = d : f$ 이다. [VII권 명제 7 따름명제]

그런데 $a : b = c : d$ 이다. 그러므로 $a : e = c : f$ 이다. [V권 명제 22]

그러므로 두 수 $a$ , $e$ 가 같은 단위로 측정할 수 있으면 두 수 $c$ , $f$ 도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 두 수 $a$ , $e$ 가 같은 단위로 측정할 수 없으면 두 수 $c$ , $f$ 도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]

그러므로 그러므로 네 수가 서로 비례 한다고 하자. 그리고 첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.

첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다

Q.E.D.

부연설명

이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다.

네 수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 $a : b = c : d$ 를 만족한다.(단, $a > b$ , $c > d$ 이다.) 그러면 $\sqrt{a^{2} - b^{2}} : a = \sqrt{c^{2} - d^{2}} : c$ 을 만족한다.

이 보조 명제는 [XI권 명제 23]의 보조명제와 같다. 이 명제는 [X권 명제 31]을 시작으로 [X권]에서 가끔 사용된다.