애플릿

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증명

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두 수 $a$, $b$가 서로소이다. $a<c<d<b$인 수 $c$, $d$는 연속적인 비 $a:c=c:d=d:b$이 성립한다고 하자. $e$가 단위수라 하자.

그러면 여러 개의 수 $c$, $d$를 $a$, $b$ 사이에 넣어 연속적인 비가 같도록 잡을 수 있으면, $a$, $b$와 단위수 사이에 같은 개수만큼의 수를 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있음을 보여야 한다.

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수 $a$, $c$, $d$, $b$의 연속적인 비와 같은 면서(즉 $f:g=a:b$) 가장 작은 수를 $f$, $g$라 하자. 같은 조건을 만족하는 세 수를 $h$, $k$, $l$이라 하자. 같은 조건을 만족하는 개수가 수 $a$, $c$, $d$, $b$와 같은 수들은 $m$, $n$, $o$, $p$라 하자. [VIII권 명제 2]

$h=f^2$, $m=fh$, $l=g^2$, $p=gl$이 된다. [VIII권 명제 2 따름 명제]

$m$, $n$, $o$, $p$는 이 수들의 연속적인 비 $m:n=n:o=o:p$가 비 $f:g$와 같으면서 가장 작은 수들이다. [VIII권 명제 1] 그리고 $m$, $n$, $o$, $p$의 개수와 $a$, $c$, $d$, $b$의 개도 같다. 그러므로 $m$, $n$, $o$, $p$와 $a$, $c$, $d$, $b$는 각각 같다. 그러므로 $m=a$, $p=b$이다.

$h=f^2$이므로 $f=f\cdot e$, $h=f\cdot f$이다. 그런데 $f$는 $e$의 배수이고, $h$는 $f$의 배수이며 어떤 수 $f$에 대하여 $f=f\cdot e$이고 같은 수 $f$에 대하여 $h=f\cdot f$이다.

그러므로 $e:f=f:h$이다. [VII권 정의 20]

$m=f\cdot h$이므로 수 $f$에 대하여 $m=f\cdot h$이고 같은 수 $f$에 대하여 $f=f\cdot e$이다. 그러므로 $m=f\cdot h$이고 $f=f\cdot e$이므로 $e:f=h:m$이다.

그런데 $e:f=f:h$임을 보였다. 그러므로 비 $e:f=f:h$은 비 $h:m$과 같다. 그런데 $m=a$이므로 $e:f=f:h=h:a$이다.

같은 논리로 $e:g=g:l=l:b$이다. 그러면 여러 개의 수 $c$, $d$를 $a$, $b$ 사이에 넣어 연속적인 비가 같도록 잡을 수 있으면, $a$, $b$와 단위수 사이에 같은 개수만큼의 수를 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.

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그러므로 어떤 두 수가 서로소이다. 이 두 수 사이에 여러 개의 수들을 넣어서 연속적인 비가 같도록 하였다고 하자. 그러면 그 사이에 넣은 수들이 몇 개이든 단위수($1$)와 이 두 수 사이에 각각 같은 개수의 수들을 넣어 연속적인 비가 같도록 할 수 있다.

Q.E.D.

부연설명

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만약 $a$, $b$가 서로소이고, $n$개 항을 갖는 연속적 비가 같은 각각 항들의 첫째 항과 끝 항이라면, $a$, $b$는 각각 $(n-1)$ 거듭제곱을 갖는다.

예를 들어, $a=8$과 $b=27$은 상대 소수로, 연속 비율 $8:12:18:27$의 끝이므로, $8$과 $27$은 모두 세제곱근이다.

이 명제는 $a$, $b$가 서로소라고 하고, 연속적이 비가 같은 양 끝의 수라고 하자. $f:g$가 가장 작은 연속적인 비라고 하자. 그러면 $a=f^{n-1}$, $b=g^{n-1}$임을 보이는 것이다. 다음과 같이 n개의 수들을 만들 수 있다.

$f^{n-1},f^{n-2}g,f^{n-3}{g}^2,\cdots ,f{g}^{n-2},g^{n-1}$

[VIII권 명제 1]에 의해서, 첫 번째 수와 끝 수가 서로소이다.