Proposition 3 of Book VIII

VIII 권

명제

명제 3

연속적인 비가 같은 몇 개의 수들이 있다. 그리고 어떤 수들이 이들의 연속적인 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 이 수들의 양끝의 수는 서로소이다.

네 개의 수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 연속적인 비 $a : b = b : c = c : d$ 를 만족한다. 어떤 수들이 이 연속적이 비와 같은 수들 중 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 양 끝의 수 $a$ , $d$ 는 서로소이다.

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증명

네 개의 수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 연속적인 비 $a : b = b : c = c : d$ 를 만족한다. 어떤 수들이 이 연속적이 비와 같은 수들 중 가장 작은 수들이라고 하자.

그러면 양 끝의 수 $a$ , $d$ 는 서로소임을 보여야 한다.

두 수 $e$ , $f$ 를 수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의 연속적인 비 $a : b = b : c = c : d$ 와 같은 비율을 가지며 가장 작은 수라고 하자. [VII권 명제 22] 그러므로 $e : f = a : b$ 이다. 또한 세 수 $g$ , $h$ , $k$ 는 연속적인 비 $a : b = b : c = c : d$ 와 같은 비율을 가지며 가장 작은 수라고 하자. [VIII권 명제 2] 그러므로 $g : h = h : k = a : b$ 이다. 이러한 방법으로 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 와 개수가 같은 $l$ , $m$ , $n$ , $o$ 를 잡자.

$e$ , $f$ 는 비가 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이므로 $e$ , $f$ 는 서로소이다. [VII권 명제 22] $g = e^{2}$ , $k = f^{2}$ 이고, $l = e g$ , $o = f k$ 이다. [VIII권 명제 2 따름 명제] 그러므로 $g$ , $k$ 는 서로소이고, $l$ , $o$ 도 서로소이다. [VII권 명제 27]

네 개의 수 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 연속적인 비 $a : b = b : c = c : d$ 와 같은 비를 갖는 네 수들 중 가장 작은 수들이고, $l$ , $m$ , $n$ , $o$ 는 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의 연속적인 비와 같은 네 수들 중에서 가장 작다. 그리고 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의 개수와 $l$ , $m$ , $n$ , $o$ 의 개수가 네 개로 같다. 그러므로 $a = l$ , $b = m$ , $c = n$ , $d = o$ 이다. 그러므로 $a = l$ , $d = o$ 이다.

그런데 $l$ , $o$ 는 서로소이므로, $a$ , $d$ 도 서로소이다.

그러므로 연속적인 비가 같은 몇 개의 수들이 있다. 그리고 어떤 수들이 이들의 연속적인 비와 같은 수들 중에서 가장 작은 수들이라고 하자. 그러면 이 수들의 양끝의 수는 서로소이다.

Q.E.D.

명제 3

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증명

부연설명