Proposition 22 of Book V

명제 22

임의 수의 개수 만큼 크기가 있고, 또 다른 크기가 같은 개수만큼 있다고 하자. 이들 크기 두 개씩 비율을 구할 수 있고, 그 비율이 순서대로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 크기의 비율은 같다. 즉, 첫 째와 맨 마지막 비율이 같다.

어떤 크기들 $a$ , $b$ , $c$ 가 있고 또 같은 개수 만큼의 다른 크기 $d$ , $e$ , $f$ 가 있고, $a : b = d : e$ 이고 $b : c = e : f$ 이라고 하자. 그러면 $a : c = d : f$ 이다.

증명

어떤 크기들 $a$ , $b$ , $c$ 가 있고 또 같은 개수 만큼의 다른 크기 $d$ , $e$ , $f$ 가 있고, $a : b = d : e$ 이고 $b : c = e : f$ 이라고 하자.

그러면 $a : c = d : f$ 임을 보이자. [V권 정의 17]

어떤 수 $p$ 에 대하여, $g = p \cdot a$ , $h = p \cdot d$ 이다. 그리고 어떤 수 $q$ 에 대하여, $k = q \cdot b$ , $l = q \cdot e$ 이다. 그리고 $m = p \cdot c$ , $n = p \cdot f$ 이다.

그러면 $a : b = d : e$ 이고, $g = p \cdot a$ , $h = p \cdot d$ 와 $k = q \cdot b$ , $l = q \cdot e$ 이므로 $g : k = h : l$ 이다.

같은 이유로 $k : m = l : n$ 이다.

그러므로 세 개의 크기 $g$ , $k$ , $m$ 과 또 다른 세 크기 $h$ , $l$ , $n$ 에 대하여, $g : k = h : l$ 과 $k : m = l : n$ 이다. 그러므로 $g >=< m$ 이면 $h >=< n$ 이다. [V권 명제 20]

그런데 $g$ , $h$ 는 $g = p \cdot a$ , $h = p \cdot d$ 이고, $m$ , $n$ 은 $m = p \cdot c$ , $n = p \cdot f$ 로 같은 어떤 수 $p$ 를 곱하여 진 것이다. 그러므로 $a : c = d : f$ 이다. [V권 정의 5]

그러므로 임의 수의 개수 만큼 크기가 있고, 또 다른 크기가 같은 개수만큼 있다고 하자. 이들 크기 두 개씩 비율을 구할 수 있고, 그 비율이 순서대로 같다고 하자. 그러면 같은 위치에 있는 크기의 비율은 같다. 즉, 첫 째와 맨 마지막 비율이 같다.

Q.E.D.

부연설명

이 명제는 다음과 같이 현대적인 표현으로 나타낼 수 있다.

$x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ 과 $y_{1}$ , $y_{2}$ , $\dots$ , $y_{n}$ 에 대하여, $x_{1} : x_{2} = y_{1} : y_{2}$ , $x_{2} : x_{3} = y_{2} : y_{3}$ , $\dots$ , $x_{n - 1} : y_{n - 1} = x_{n} : y_{n}$ 이면 $x_{1} : x_{n} = y_{1} : y_{n}$ 이다.

이 명제는 [V권 명제 20]을 이용하여 증명할 수 있다.

$a : b = b : e$ 이고 $b : c = e : f$ 라고 하자. 그러면 $a : c = d : f$ 를 보이면 된다.

[V권 명제 4]에 의하여, 어떤 수 $n$ , $m$ , $k$ 에 대하여 $n a : m b = n d : m e$ 이고 $m a : k c = m d : k f$ 이다.

[V권 명제 20]에 의하여, $n a >=< k c$ 이면 $n d >=< k f$ 이다.

그러므로 $a : c = d : f$ 이다. Q.E.D.

이 명제는 [V권 정의 5] 에 의해서, 매우 쉽게 직접 증명할 수도 있다.

[VII권 명제 14]가 수의 비율에 대한 유사한 명제이다. 이 명제는 [V권 명제 24] 와 VI권, X권, XII권의 여러 명제에서 사용되었다.