애플릿

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증명

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단위수를 $1$라 하고 수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$에 대하여 $1$, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$의 연속적인 비가 같다고 하자.

그러면 세 번째 수 $b$는 제곱수이며 항의 번호를 $2$로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 제곱수이다. 그리고 네 번째 수 $c$는 세제곱수이며 항의 번호를 $3$으로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 세제곱수이다. 또한 일곱 번째 수 $f$는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 그리고 항의 번호를 $6$으로 나누어서 나머지가 $1$인 항들의 수들 모두 제곱수이며 동시에 세제곱수을 보여야 한다.

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1) 세 번째 수 $b$는 제곱수이며 항의 번호를 $2$로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 제곱수임을 보이자.

$1:a=a:b$이므로 $\frac{a}{1}=\frac{b}{a}$이다. [VII권 정의 20] $\frac{a}{1}=a$이다. 그러므로 $\frac{b}{a}=a$이다. 그러므로 $b=a\cdot a$이다. 따라서 $b$는 제곱수이다.

$b$, $c$, $d$의 연속적인 비가 같으므로 $b$가 제곱수이므로 $d$도 제곱수이다. [VIII권 명제 22] 같은 논리로 $f$도 제곱수이다. 같은 방법으로 항의 수를 $2$로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 제곱수임을 보일 수 있다.

2) 다음으로 네 번째 수 $c$는 세제곱수이며 항의 번호를 $3$으로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 세제곱수임을 보이자.

$1:a=b:c$이다. $\frac{a}{1}=\frac{c}{b}$이고 $\frac{a}{1}=a$이므로 $\frac{c}{b}=a$이다. 그러므로 $c=a\cdot b$이다. $b=a\cdot a$이고 $c=a\cdot b$이므로 $c=a\cdot (a\cdot a)$이므로 $c$는 세제곱수이다.

$c$, $d$, $e$, $f$의 연속적인 비가 같으므로 $c$가 세제곱수이므로 $f$도 세제곱수이다. [VIII권 명제 23] 같은 방법으로 항의 수를 $3$로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 세제곱수임을 보일 수 있다.

3) 그런데 $f$는 제곱수임을 보였다. 그러므로 일곱 번째 수 $f$는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 같은 방법으로 항의 번호를 $6$으로 나누어서 나머지가 $1$인 항들의 수들 모두 제곱수이며 동시에 세제곱수임을 보일 수 있다.

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그러므로 단위수를 포함한 여러 개의 수들의 연속적이 비가 같다고 하자. 그러면 세 번째 항의 수는 제곱수이며 항의 번호를 $2$로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 제곱수이다. 그리고 네 번째 항의 수는 세제곱수이며 항의 번호를 $3$으로 나누어서 나머지가 $1$인 모든 항들의 수는 세제곱수이다. 또한 일곱 번째 항의 수는 제곱수이며 동시에 세제곱수이다. 그리고 항의 번호를 $6$으로 나누어서 나머지가 $1$인 항들의 수들 모두 제곱수이며 동시에 세제곱수이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.

어떤 수 $a$에 대하여, 수열 $1$, $a$, $a^2$, $a^3$, $a^4$, $a^5$, $a^6$, $a^7$, $\cdots$이라고 하자.

그러면 모든 $a^2$, $a^4$, $a^6$, $a^8$, $\cdots$는 제곱수이고,

모든 $a^3$, $a^6$, $a^9$, $a^{12}$, $\cdots$는 세제곱수이며,

모든 $a^6$, $a^{12}$, $a^{18}$, $a^{24}$, $\cdots$는 제곱수이자 동시에 세제곱수이다.

이 명제는 다음 5개 명제 중 4개 명제에서 사용된다.