Proposition 45 of Book I

명제 45

주어진 다각형과 각에 대하여 그 다각형의 넓이와 같고 주어진 각과 같은 한 각으로 하는 평행사변형을 작도 할 수 있다.

주어진 $n$ 각형과 $∠ E$ 에 대하여, 그 $n$ 각형과 같은 넓이를 가지고, $∠ E$ 를 한 각으로 가지는 평행사변형을 작도할 수 있다. ( $n$ 은 이상의 자연수)

증명

주어진 $n$ 각형과 $∠ E$ 가 있다.

그러면, 그 $n$ 각형과 같은 넓이를 가지고, $∠ E$ 를 한 각으로 가지는 평행사변형을 작도할 수 있음을 보이자. ( $n$ 은 이상의 자연수)

주어진 다각형이 $n = 4$ 일 때 다각형 $A B C D$ 라고 하고, 주어진 각을 $∠ E$ 라고 하자. 다각형 $A B C D$ 와 같은 넓이를 가지고, 평행사변형의 한 각이 $∠ E$ 와 같게 작도하면 된다. $n$ 이 $5$ 이상일 때의 $n$ 각형은 위의 작업을 반복적으로 하면 된다.

선분 $D B$ 를 그려라. [I권 공리 1]

삼각형 $A B D$ 의 넓이와 같고, $∠ H K F = ∠ E$ 가 되게 평행사변형 $F K H G$ 를 작도할 수 있다. [I권 명제 42]

다음으로 삼각형 $D B C$ 의 넓이와 같고, $∠ G H M = ∠ E$ 이고, 한 변이 선분 $G H$ 가 되는 평행사변형 $G H L M$ 을 작도 할 수 있다. [I권 명제 44]

$∠ H K F = ∠ E = ∠ G H M$ 이어서 $∠ H K F = ∠ G H M$ 이다. [I권 일반상식 1]

$∠ H K F = ∠ G H M$ 의 양변에 $∠ K H G$ 를 더하면, $∠ H K F + ∠ K H G = ∠ G H M + ∠ K H G$ 이다. [I권 일반상식 2]

그리고 $∠ H K F + ∠ K H G = 180^{\circ}$ 이고, $∠ H K F = ∠ G H M$ 이어서, $∠ G H M + ∠ K H G = 180^{\circ}$ 이다. [I권 일반 상식 1]

따라서 선분 $G H$ 의 끝 점 $H$ 에서 변 $K H$ 와 변 $H M$ 이 다른 방향으로 뻗어나가고, 이웃한 두 각 $∠ K H G$ 와 $∠ G H M$ 이 $∠ K H G + ∠ G H = 180^{\circ}$ 이므로 두 변 $K H$ 와 $K M$ 는 한 직선 상에 있다. [I권 명제 14]

선분 $H G$ 가 평행선 $K M$ , $F G$ 와 만나므로, 이 때 $∠ M H G$ 와 $∠ H G F$ 는 엇각이므로 $∠ M H G = ∠ H G F$ 이다. [I권 명제 29]

$∠ M H G = ∠ H G F$ 의 양변에 $∠ H G L$ 을 더하면, $∠ M H G + ∠ H G L = ∠ H G F + ∠ H G L$ 이다. [I권 일반 상식 2]

$∠ M H G + ∠ H G L = 180^{\circ}$ 이므로 $∠ H G F + ∠ H G L = 180^{\circ}$ 이다. [I권 명제 29, 일반 상식 1]

그러므로 두 선분 $F G$ 와 $G L$ 은 일직선 상에 있다. [I권 명제 14]

$\overset{―}{F K} = \overset{―}{H G}$ 이고, 두 선분 $F K$ 와 $H G$ 는 평행하고( $F K ∥ H G$ ), $\overset{―}{H G} = \overset{―}{L M}$ 이고, 두 선분 $H G$ 와 $L M$ 은 평행하여서( $H G ∥ L M$ )이고, 두 선분 $F K$ 와 $L M$ 은 평행하다.( $F K ∥ L M$ ) [ I권 명제 34, 일반 상식1, 명제 30]

선분 $F L$ 과 $K M$ 은 양 끝 점을 잇고 있으므로 $\overset{―}{F L} = \overset{―}{K M}$ 이고, 두 선분 $F L$ 과 $K M$ 은 평행하다.( $F L ∥ K M$ ) [I권 명제33]

따라서 사각형 $F K H G$ 는 평행사변형이다.

(삼각형 $A B C$ 넓이) $=$ (사각형 $F K H G$ 넓이)이고 (삼각형 $D B C$ 넓이) $=$ (사각형 $G H L M$ 넓이)이어서 (사각형 $A B C D$ 넓이) $=$ (사각형 $F K L M$ 넓이)이다.

그러므로 주어진 다각형과 각에 대하여 그 다각형의 넓이와 같고 주어진 각과 같은 한 각으로 하는 평행사변형을 작도 할 수 있다.

Q.E.D.

부연설명

이 작도를 통해 어떤 선분으로 이루어진 주어진 넓이와 주어진 각에도 적용 될 수 있다. 즉, 원하는 각과 원하는 넓이를 가지는 평행사변형으로 변환할 수 있다. 그것은 “이 그림의 넓이는 얼마인가?”라는 질문에 대한 만족스러운 해결책이다.

그러나 “원의 넓이는 얼마인가?”라는 질문은 원론에서는 답이 나오지 않는다. 이 문제에 대한 자세한 설명은 [II권 명제 14]엣 조금 더 논의를 한 이후에 원의 넓이를 정사각형 넓이로 바꾸는 것에 대해 언급한 것을 참조하라.