증명

---

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)에 대하여, \(\rm\angle BAC=\angle EDF\)이고 이 각을 끼고 있는 변들의 크기가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이라고 하자. 또한 나머지 한 각 \(\rm C\), \(\rm F\)가 모두 \(\rm\angle C < 90^\circ\), \(\rm\angle D < 90^\circ\) 또는 모두 \(\rm\angle C > 90^\circ\), \(\rm\angle D > 90^\circ\)이라고 하자.

그러면 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 비례하는 변들의 마주보는 각의 크기가 같음을 보이자. 즉, \(\rm\angle ABC=\angle DEF\), \(\rm\angle C=\angle D\)임을 보이자.

---

1) 나머지 한 각 \(\rm C\), \(\rm F\)가 모두 \(\rm\angle C < 90^\circ\), \(\rm\angle D < 90^\circ\)인 예각이라고 하자.

\(\rm\angle ABC\ne\angle DEF\)이면 \(\rm\angle ABC > \angle DEF\) 또는 \(\rm\angle ABC<\angle DEF\)이다.

① \(\rm\angle ABC>\angle DEF\)이라고 하자.

선분 \(\rm AB\)의 끝 점 \(\rm B\)에서 \(\rm\angle ABG=\angle DEF\)인 각 \(\rm ABG\)를 작도하자. [I권 명제 23]

그러면 \(\rm\angle A=\angle D\), \(\rm\angle ABG=\angle DEF\)이므로 나머지 두 각 \(\rm AGB\), \(\rm DFE\)은 \(\rm\angle AGB=\angle DFE\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 삼각형 \(\rm ABG\)와 삼각형 \(\rm DEF\)는 대응하는 각의 크기가 같다.

따라서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BG}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이다. [VI권 명제 4]

그런데 가정에서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)라고 하였다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm BG}\)이다. [V권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BG}\)이다. [V권 명제 9] 그러므로 \(\rm\angle C=\angle BGC\)이다. [I권 명제 5]

그런데 거정에서 \(\rm\angle C< 90^\circ\)이라고 하였다. 그러므로 \(\rm\angle BGC < 90^\circ\)이다. 그러므로 이웃한 각 \(\rm AGB\)는 \(\rm\angle AGB > 90^\circ\)이다. [I권 명제 13]

\(\rm\angle AGB=\angle F\)임을 보였다. 그러므로 \(\rm\angle F>90^\circ\)이다. 그런데 가정에서 \(\rm\angle F< 90^\circ\)이다. 이것은 모순이다.

그러므로 \(\rm\angle ABC \ne \angle DEF\)이 아니다. 따라서 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\)이다.

그런데 \(\rm\angle A=\angle D\)이다. 그러므로 나머지 각 \(\rm C\), 각 \(\rm F\)는 \(\rm\angle C=\angle F\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 각들의 크기가 같다.

②\(\rm \angle ABC<\angle DEF\)이라고 하자.

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 각들의 크기가 같음을 비슷한 방법으로 증명 할 수 있다.

---

2) \(\rm\angle C>90^\circ\), \(\rm\angle D>90^\circ\)인 둔각이라고 하자.

같은 방법으로 도형을 그리자. 그러면 비슷한 방법으로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm BG}\)임을 보일 수 있다. 그러므로 \(\rm\angle C=\angle BGC\)이다. [I권 명제 5]

그런데 \(\rm\angle C>90^\circ\)이다. 그러므로 \(\rm\angle BGC>90^\circ\)이다.

그러므로 삼각형 \(\rm BGC\)의 각 \(\rm BGC\), 각 \(\rm BCG\)가 모두 \(\rm\angle BGC>90^\circ\), \(\rm\angle BCG>90^\circ\)이다. 이것은 불가능하다. [I권 명제 17]

그러므로 이 경우에도 \(\rm\angle ABC\ne\angle DEF\)이 아니다. 따라서 \(\rm\angle ABC=\angle DEF\)이다.

그런데 \(\rm\angle A=\angle D\)이다. 그러므로 나머지 각 \(\rm C\), 각 \(\rm F\)는 \(\rm\angle C=\angle F\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DEF\)의 대응하는 각들의 크기가 모두 같다.

---

그러므로 두 삼각형에 대하여, 한 각의 크기가 같고 그 각에 끼인 두 변의 길이가 비례한다. 그리고 나머지 한 각이 두 삼각형 모두 둔각이거나 예각이라고 하자. 그러면 두 삼각형의 대응하는 각들의 크기가 같다. 즉, 비례하는 변들의 마주보는 각들의 크기가 같다.

Q.E.D.