증명

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두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DCE\)의 두 변 \(\rm BA\), \(\rm AC\)와 두 변 \(\rm DC\), \(\rm DE\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm DE}\)이라고 하자. 그리고 두 변 \(\rm AC\), \(\rm DC\)가 평행하고 두 변 \(\rm AC\), \(\rm DE\)가 평행다하고 하자.

그러면 변 \(\rm BC\)와 변 \(\rm CE\)는 한 직선 위에 있음을 보이자.

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두 변 \(\rm AB\), \(\rm DC\)은 평행하고, 변 \(\rm AC\)와 한 점에서 만나므로 엇각 \(\rm BAC\), \(\rm ACD\)는 \(\rm\angle BAC=\angle ACD\)이다. [I권 명제 29]

같은 이유로 각 \(\rm CDE\), 각 \(\rm ACD\)는 \(\rm\angle CDE=\angle ACD\)이다. 따라서 \(\rm\angle BAC=\angle CDE\)이다.

두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DCE\)에서 \(\rm\angle A=\angle D\)이고 각 끼고 있는 두 변의 비율이 같다. 즉, \(\overline{\rm BA}:\overline{\rm AC}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DE}\)이다. 그러므로 삼각형 \(\rm ABC\)와 삼각형 \(\rm DCE\)는 나머지 각들의 크기가 같다. [VI권 명제 6] 그러므로 \(\rm\angle ABC=\angle DCE\)이다.

그런데 \(\rm\angle ACD=\angle BAC\)이다. 그러므로 \(\rm \angle ACE=\angle ABC+\angle BAC\)이다.

양변에 \(\rm\angle ACB\)를 더하자. 그러면 \(\rm \angle ACE+\angle ACB=\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB\)이다.

그런데 \(\rm\angle BAC+\angle ACB+\angle CBA=180^\circ\)이다. [I권 명제 32]

그러므로 \(\rm\angle ACE+\angle ACB=180^\circ\)이다. 그러므로 선분 \(\rm AC\)의 끝 점 \(\rm C\)에서 두 선분 \(\rm BC\), \(\rm CE\)를 서로 다른 방향으로 그렸는데 그들이 만드는 이웃각 \(\rm ACE\), \(\rm ACB\)는 \(\rm\angle ACE+ \angle ACB=180^\circ\)이므로 두 변 \(\rm BC\), \(\rm CE\)는 한 직선 위에 있다. [I권 명제 14]

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그러므로 두 변이 서로 비례하고 두 삼각형에 대하여, 두 삼각형을 한 점에 만나도록 하여 대응하는 변들이 평행하도록 만들 수 있으면 나머지 두 삼각형의 한 변들은 한 직선 위에 있다.

Q.E.D.