VI 권
명제
삼각형의 한 변에 평행하고 나머지 두 변과 교점이 갖도록 그리자. 그러면 나머지 두 변이 같은 비율로 잘린다. 역으로 삼각형의 두 변을 같은 비율로 자르면, 그 자른 점들을 연결한 직선과 나머지 한 변은 평행하다.
삼각형 \(\rm ABC\)에 대하여, 밑변 \(\rm BC\)에 평행한 나머지 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위의 점이 각각 \(\rm D\), \(\rm E\)인 선분 \(\rm DE\)를 그리자. 그러면 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)이다. 또한 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위의 각각의 점 \(\rm D\), \(\rm E\)가 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)이면 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm BC\)는 평행하다.
1) 삼각형 \(\rm ABC\)의 밑변 \(\rm BC\)에 평행한 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위의 점이 각각 \(\rm D\), \(\rm E\)인 선분 \(\rm DE\)를 그리자.
그러면 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)임을 보이자.
선분 \(\rm BE\), \(\rm CD\)를 그리자.
그러면 두 삼각형 \(\rm BDE\), \(\rm CDE\)는 선분 \(\rm DE\)는 공통이고, 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm BC\)는 평행하므로 높이가 같아 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이) \(=\) (\(\triangle \rm CDE\) 넓이)이다. [I권 명제 38]
삼각형 \(\rm ADE\)는 어떤 넓이를 갖는다.
그러므로 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이) \(:\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이) \(=\) (\(\triangle \rm CDE\) 넓이) \(:\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이)이다. [V권 명제 7]
그런데 두 삼각형 \(\rm BDE\), \(\rm ADE\)의 높이가 점 \(\rm E\)에서 선분 \(\rm AB\)까지의 거리로 같으므로 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 비와 같으므로 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이) \(:\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이) \(=\) \(\overline{\rm BD} : \overline{\rm AD}\)이다. [VI권 명제 1]
같은 이유로, (\(\triangle \rm CDE\) 넓이) \(:\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이) \(= \overline{\rm CE} : \overline{\rm AE}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm BD} : \overline{\rm AD} = \overline{\rm CE} : \overline{\rm AE}\)이다. [V권 명제 11]
2) 다음으로, 역으로 삼각형 ABC의 두 변 \(\rm AB\), \(\rm AC\) 위의 각각의 점 \(\rm D\), \(\rm E\)가 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)이라고 하자. 선분 \(\rm DE\)를 그리자.
그러면 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm BC\)가 평행하다는 것을 보이자.
위의 1)과 같은 방법으로 보조선을 그리자. 그러면 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)이고, \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\)(\(\triangle \rm BDE\) 넓이)\(:\)(\(\triangle \rm ADE\) 넓이)이며, \(\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}=\)(\(\triangle \rm CDE\) 넓이)\(:\)(\(\triangle \rm ADE\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이)\(:\)(\(\triangle \rm ADE\) 넓이)\(=\)(\(\triangle \rm CDE\) 넓이)\(:\)(\(\triangle \rm ADE\) 넓이)이다.
따라서 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이)\(:\)(\(\triangle \rm ADE\) 넓이)\(=\)(\(\triangle \rm CDE\) 넓이)\(:\)(\(\triangle \rm ADE\) 넓이)이므로 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이)\(=\)(\(\triangle \rm CDE\) 넓이)이다. [V권 명제 9] 그리고 이 두 삼각형은 같은 밑변 \(\rm DE\)를 공유한다.
그런데 두 삼각형의 넓이가 같고 밑변을 공유하면 이 두 삼각형은 평행한 두 직선 위에 놓여 있어야 한다. [I권 명제 39]
그러므로 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm BC\)는 평행하다.
그러므로 삼각형의 한 변에 평행하고 나머지 두 변과 교점이 갖도록 그리자. 그러면 나머지 두 변이 같은 비율로 잘린다. 역으로 삼각형의 두 변을 같은 비율로 자르면, 그 자른 점들을 연결한 직선과 나머지 한 변은 평행하다.
Q.E.D.
유클리드는 두 단계로 명제와 그 명제의 역을 증명하는 것을 선호하지만, 일부 명제에서는 이와 같이 두 단계의 증명이 거의 서로 역순이므로 둘 다 한 번에 증명될 수 있다.
이 명제는 주어진 삼각형 \(\rm ABC\)의 두 변 \(\rm BC\), \(\rm AC\) 위에 각각 점 \(\rm D\), \(\rm E\)에 대하여, \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)의 필요충분조건은 \(\rm DE \parallel BC\)이다.
앞의 [VI권 명제 1]에 의해서 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD} = :\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이), \(\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE} =\) (\(\triangle \rm CDE\) 넓이) \(:\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이) 이다.
그러므로 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm CE}:\overline{\rm AE}\)의 필요충분조건은 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이) \(:\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이)\(=\)(\(\triangle \rm CDE\) 넓이) \(:\) (\(\triangle \rm ADE\) 넓이) 이다
[V권 명제 7]과 [V권 명제 9]의 후자에 있는 조건 (\(\triangle \rm BDE\) 넓이)\(=\)(\(\triangle \rm CDE\) 넓이)과 동일하고, 순서대로 [I권 명제 37], [I권 명제 39]에 의해서 \(\rm DE \parallel BC\)이다.
\(\overline{\rm BD} : \overline{\rm AD} = \overline{\rm AE} : \overline{\rm CE}\)와 같은 비율은 의도하지 않음에 유의해야 한다. 이 경우 두 옆 변이 비례적으로 절단되지만 그것은 의도한 것이 아니다.
이 명제는 다음 명제부터 시작하여 [VI 권]의 나머지 부분에서 자주 사용된다. 이것은 또한 [XI 권]과 [XII 권]에서도 사용된다