증명

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두 다각형 \(\rm ABC\)와 다각형 \(\rm D\)가 있다.

그러면 다각형 \(\rm ABC\)와 닮은꼴이면서 넓이가 다각형 \(\rm D\)와 같은 다각형을 작도할 수 있음을 보이자.

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삼각형 \(\rm ABC\)와 넓이가 같은 평행사변형 \(\rm BLEC\)를 변 \(\rm BC\)를 작도하자. [I권 명제 44] \(\rm\angle FCE=\angle CBL\)인 각 \(\rm FCE\)를 만들고 (평행사변형 \(\rm CEMF\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm D\) 넓이)인 평행사변형 \(\rm CEMF\)를 작도하자. [I권 명제 45]

두 선분 \(\rm BC\), \(\rm CF\)는 한 직선 위에 있고 선분 \(\rm LE\)와 선분 \(\rm EM\)도 한 직선 위에 있다.

\(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm CF}={\overline{\rm GH}}^2\)인 \(\rm GH\)를 그리자. [VI권 명제 13] 선분 \(\rm GH\) 위에 삼각형 \(\rm ABC\)와 닮은 삼각형 \(\rm KGH\)를 작도하자. [VI권 명제 18]

그러면 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm GH}=\overline{\rm GH}:\overline{\rm CF}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CF}=\)(삼각형\(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm KGH\) 넓이)이다. [VI권 명제 19 따름 명제]

\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CF}=\)(평행사변형 \(\rm BLEC\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEMF\) 넓이)이다. [VI권 명제 1]

그러므로 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(삼각형 \(\rm KGH\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BLE\)C 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEMF\) 넓이) [V권 명제 11]이고 바꾼 비례식에 의해서 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm BLEC\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm KGH\) 넓이)\(:\)(평행사변형 \(\rm CEMF\) 넓이)이다. [V권 명제 16]

그런데 (삼각형 \(\rm ABC\) 넓이)\(=\)(평행사변형 \(\rm BLEC\) 넓이)이다. 그러므로 (삼각형 \(\rm KGH\) 넓이)\(=\)(삼각형 \(\rm CEMF\) 넓이)이다. 그런데 (평행사변형 \(\rm CEMF\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm D\) 넓이)이다. 그러므로 (삼각형 \(\rm KGH\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm D \)넓이)이다. [V권 정의 5]

그리고 삼각형 \(\rm KGH\)는 삼각형 \(\rm ABC\)와 닮은꼴이다. 그러므로 한 도형 \(\rm KGH\)는 다각형 \(\rm ABC\)와 닮은꼴이고 다른 어떤 다각형 \(\rm D\)와 넓이가 같다.

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그러므로 한 다각형과 닮은꼴이고 다른 어떤 다각형과 넓이가 같은 도형을 작도할 수 있다.

Q.E.D.