VI 권
명제
네 선분들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 양 끝의 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 가운데 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다. 그리고 양 끝의 두 선분으로 만든 직사각형 넓이가 가운데 두 선분으로 만든 직사가형의 넓이와 같으면 네 선분은 서로 비례한다.
네 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\), \(e\), \(f\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)이라고 하면, 그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(f\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 \(\overline{\rm CD}\), \(e\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이가 같다. 즉, \(\overline{\rm AB}\cdot f =\overline{\rm CD}\cdot e\)이다. 또한 \(\overline{\rm AB}\), \(f\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 \(\overline{\rm CD}\), \(e\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이가 같다고 하면, 즉, \(\overline{\rm AB}\cdot f = \overline{\rm CD} \cdot e\)이면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)이다.
(1) 네 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\), \(e\), \(f\)가 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(f\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 \(\overline{\rm CD}\), \(e\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이가 같음을 보이자. 즉, \(\overline{\rm AB}\cdot f=\overline{\rm CD}\cdot e\)임을 보이자.
점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm AB\)에 수직이고 \(\overline{\rm AG}=f\)인 선분 \(\rm AG\)를 그리고, 점 \(\rm C\)에서 \(\rm CD\)에 수직이고 \(\overline{\rm CH}=e\)인 선분 \(\rm CH\)를 그리자. [I권 명제 11, I권 명제 3]
직사각형 \(\rm ABIG\), 직사각형 \(\rm CDJH\)를 만들자. [I권 명제 31]
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)이고 \(e=\overline{\rm CH}\), \(f=\overline{\rm AG}\)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm CH}:\overline{\rm AG}\)이다. [V권 명제 7]
두 직사각형 \(\rm ABIG\), \(\rm CDJH\)에서 같은 각을 끼고 있는 변들의 길이가 역으로 비례한다.
그런데 \(\overline{\rm AG}=f\)이고 (직사각형 \(\rm ABIG\)의 넓이)\(=\overline{\rm AB}\cdot f\)이고, \(e=\overline{\rm CH}\)이므로 (직사각형 \(\rm CDJH\) 넓이)\(=\overline{\rm CD}\cdot e\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot f=\overline{\rm CD} \cdot e\)이다.
(2) \(\overline{\rm AB}\), \(f\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 \(\overline{\rm CD}\), \(e\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이가 같다고 하자. 즉, \(\overline{\rm AB}\cdot f=\overline{\rm CD}\cdot e\)이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)임을 보이자.
위와 같은 도형을 작도하자. \(\overline{\rm AB}\cdot f=\overline{\rm CD}\cdot e\)이라고 하자. \(\overline{\rm AG}=f\)이므로 (직사각형 \(\rm ABIG\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}\cdot f\)이고, \(\overline{\rm CH}=e\)이므로 (직사각형 \(\rm CDJH\) 넓이)\(=\overline{\rm CD}\cdot e\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ABIG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CDJH\) 넓이)이다.
그런데 이 두 직사각형 \(\rm ABIG\), \(\rm CDJH\)는 각들이 서로 같다. 그런데 각들의 크기가 같고 넓이가 같은 평행사변형은 같은 각을 끼고 있는 변들은 역으로 비례한다. [VI권 명제 14]
그러므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm CH}:\overline{\rm AG}\)이다. [V권 명제 7]
그런데 \(\overline{\rm CH}=e\), \(\overline{\rm AG}=f\)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=e:f\)이다.
그러므로 네 선분들이 서로 비례한다고 하자. 그러면 양 끝의 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 가운데 두 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같다. 그리고 양 끝의 두 선분으로 만든 직사각형 넓이가 가운데 두 선분으로 만든 직사가형의 넓이와 같으면 네 선분은 서로 비례한다.
Q.E.D.
이 명제는 [VI권 명제 14]의 특별한 경우이다. 이 명제는 이렇게 장황하게 길게 증명할 필요가 없다. [X권]에서 가끔 사용되지만, 다음 명제에서 밝힌 바와 같이, 평균이 같고 두 번째 수가 정사각형인 특별한 경우는 [X권] 전체와 [XIII 권]에서 자주 사용된다.